习题 6.17

因果离散 LTI 系统，$a$ 为未知实数。系统框图可等价描述如下：

• 输入 $x(n)$ 经增益 $1$ 后到达加法节点 $v_1(n)$。
• $v_1(n)$ 经单位延时环节 $z^{-1}$ 后得到状态变量 $\lambda_1(n)$。
• $\lambda_1(n)$ 经增益 $-1$ 后到达加法节点 $v_2(n)$。
• $v_2(n)$ 经单位延时环节 $z^{-1}$ 后得到状态变量 $\lambda_2(n)$。
• $\lambda_2(n)$ 经增益 $-1$ 后，经增益 $1$ 输出，得到 $y(n)$。
• 加法节点 $v_2(n)$ 的输出经增益 $1$ 反馈至加法节点 $v_1(n)$。
• 输出端增益 $-1$ 后的信号经增益 $1$ 反馈至加法节点 $v_2(n)$。
• 状态变量 $\lambda_2(n)$ 经增益 $a$ 反馈至加法节点 $v_2(n)$。

1. 选取状态变量 $\lambda_1(n)$ 和 $\lambda_2(n)$，试写矩阵形式的状态方程和输出方程。

2. 若系统 BIBO 稳定，求 $a$ 的取值范围。

3. 若系统完全可控且完全可观，求 $a$ 的取值范围。