微分方程A 类计算方法

可降阶的高阶微分方程

根据方程缺少 $y$ 或 $x$ 选择 $p=y'$ 或 $p(y)=y'$ 降阶。

掌握状态

按可复现的表现更新

识别信号

看到什么，应该想到它

高阶方程中不显含 $y$ 或不显含 $x$

使用公式或定理前逐项确认。

y'+P(x)y=Q(x), \mu=e^{\int Pdx}, (\mu y)'=\mu Q

y''+py'+qy=0 \leftrightarrow r^2+pr+q=0

x^2y''+axy'+by=f(x), t=\ln|x|

这些错误通常发生在入口正确、条件或细节失控时。

闭卷诊断

先不计算：请说明“可降阶的高阶微分方程”的适用条件、第一步和一个失效边界。

核心公式

y'+P(x)y=Q(x), \mu=e^{\int Pdx}, (\mu y)'=\mu Q

y''+py'+qy=0 \leftrightarrow r^2+pr+q=0

x^2y''+axy'+by=f(x), t=\ln|x|