常微分方程

一阶线性方程：

$$y'+P(x)y=Q(x), \mu=e^{\int Pdx}, (\mu y)'=\mu Q$$

适用条件：$P$,Q 在求解区间连续。

边界检查：积分因子任取非零常数倍均等价。

二阶常系数齐次方程：

$$y''+py'+qy=0 \leftrightarrow r^2+pr+q=0$$

适用条件：方程线性齐次且各阶系数均为常数。

边界检查：重根与共轭复根的通解形式不同。

欧拉方程换元：

$$x^2y''+axy'+by=f(x), t=\ln|x|$$

适用条件：在 $x>0$ 或 $x<0$ 的固定区间。

边界检查：不能让解跨过 $x=0$。