方程组75 分钟6 个考点

线性方程组

线性方程组是否有解由系数矩阵与增广矩阵的秩决定；有解后，自由变量个数决定齐次解空间维数。非齐次通解是一个特解加齐次通解。

掌握状态

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完成后应能

用秩判据讨论解的存在性与唯一性
求齐次方程组基础解系
处理两个方程组的公共解和同解问题

直觉

直觉与对象

$Ax=b$ 的解集是线性变换 $A$ 的原像。若 b 在列空间中则有解；两个解之差一定落在零空间中。

推导

解题主线

含参数方程组化行阶梯形并按主元是否为零分类；基础解系对每个自由变量依次取 1，其余自由变量取 0；非齐次先找特解，再加基础解系线性组合。

定义

公式、条件与边界

Rouché-Capelli：

Ax=b \text{有解} \Longleftrightarrow r(A)=r(A|b)

适用条件：有限维线性方程组 $Ax=b$ 。

边界检查：唯一解还要求共同秩等于未知数个数。

齐次解空间维数：

dim N(A)=n-r(A)

适用条件： $A$ 有 $n$ 列， $n$ 是未知数的个数。

边界检查：不要把行数当作未知数个数。

非齐次通解：

x=x_{0}+\sum c_{i}\xi_{i}

适用条件： $x_{0}$ 为一个特解， $\xi_{i}$ 为齐次基础解系。

边界检查：特解不唯一但通解集合相同。

易错边界

$r(A)=r(A|b)$ 只保证有解，等于未知数个数才保证唯一；非齐次解集通常不是线性空间；基础解系向量个数为 $n-r(A)$ 。

小结

本章掌握标准

用秩判据讨论解的存在性与唯一性
求齐次方程组基础解系
处理两个方程组的公共解和同解问题

公式与边界

Rouché-Capelli

Ax=b \text{有解} \Longleftrightarrow r(A)=r(A|b)

适用条件: 有限维线性方程组 $Ax=b$
边界提醒: 唯一解还要求共同秩等于未知数个数

齐次解空间维数

dim N(A)=n-r(A)

适用条件: $A$ 有 $n$ 列， $n$ 是未知数的个数
边界提醒: 不要把行数当作未知数个数

非齐次通解

x=x_{0}+\sum c_{i}\xi_{i}

适用条件: $x_{0}$ 为一个特解， $\xi_{i}$ 为齐次基础解系
边界提醒: 特解不唯一但通解集合相同

公式与边界

Rouché-Capelli

Ax=b \text{有解} \Longleftrightarrow r(A)=r(A|b)

适用条件: 有限维线性方程组 $Ax=b$
边界提醒: 唯一解还要求共同秩等于未知数个数

齐次解空间维数

dim N(A)=n-r(A)

适用条件: $A$ 有 $n$ 列， $n$ 是未知数的个数
边界提醒: 不要把行数当作未知数个数

非齐次通解

x=x_{0}+\sum c_{i}\xi_{i}

适用条件: $x_{0}$ 为一个特解， $\xi_{i}$ 为齐次基础解系
边界提醒: 特解不唯一但通解集合相同

完成后应能

直觉与对象

解题主线

公式、条件与边界

易错边界

本章掌握标准

公式与边界

本课检查题

完成后应能

直觉与对象

解题主线

公式、条件与边界

易错边界

本章掌握标准

公式与边界

本课检查题