曲线积分与曲面积分

格林公式：

$$\oint _L Pdx+Qdy=\iint _D(Q_{x}-P_{y})dxdy$$

适用条件：$L$ 为 $D$ 的正向分段光滑边界，$P$,Q 有连续偏导。

边界检查：孔洞边界方向与外边界相反。

高斯公式：

$$∯_\Sigma F\cdot n dS=\iiint _\Omega \operatorname{div} F dV$$

适用条件：$\Sigma$ 为 $\Omega$ 的闭边界并取外法向。

边界检查：非闭曲面必须先补面。

斯托克斯公式：

$$\oint _{\partial \Sigma}F\cdot dr=\iint _\Sigma(curl F)\cdot n dS$$

适用条件：边界方向与法向按右手规则匹配。

边界检查：换面不能改变边界曲线。