重积分

二重积分换元：

$$dxdy=|\partial (x,y)/\partial (u,v)|dudv$$

适用条件：变换可微且 Jacobian 在区域内不退化。

边界检查：绝对值与区域映射缺一不可。

极坐标：

$$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dx\,dy=r\,dr\,d\theta$$

适用条件：$r\ge 0$ 且角度范围覆盖区域一次。

边界检查：跨负半轴时角区间要连续描述。

球坐标：

$$dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$$

适用条件：本课程约定 $\varphi$ 为与正 $z$ 轴夹角。

边界检查：不同教材角变量命名可能互换。