极限连续75 分钟33 个考点

函数、极限与连续

本章核心不是罗列求极限技巧，而是先识别趋近过程和未定式，再选择保阶数的方法。连续性题必须同时核对函数值、左极限和右极限。

掌握状态

按可复现的表现更新

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完成后应能

区分数列极限与函数极限的趋近对象
按条件使用等价无穷小、泰勒、洛必达和夹逼
判定间断点类型并利用闭区间连续函数性质

直觉

直觉与对象

极限描述的是局部趋势而不是点值。先写清 $x\to x_{0}$ 、 $x\to \infty$ 或 $n\to \infty$ ，再问主导量是什么；若直接代入得到 $0/0$ 或 $\infty /\infty$ ，只是获得了选择工具的信号，并未得到可以直接使用洛必达的许可。

推导

解题主线

标准流程：先化简定义域与符号；再识别未定式；优先用代数恒等变形或等价无穷小，涉及抵消时展开到首个不为零项；洛必达前逐次检查分子分母可导与导数比极限。连续参数题写成 $f(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ 。

定义

公式、条件与边界

两个重要极限：

lim_{x\to 0} \sin x/x=1;\quad lim_{x\to \infty }(1+1/x)^x=e

适用条件：相应表达式有定义，第二式底数在邻域内为正。

边界检查：变量替换后仍要检查趋近方向。

泰勒主项：

f(x)=\Sigma_{k=0}^{n} f^(k)(0)x^k/k!+o(x^n)

适用条件：f 在展开点具有足够阶导数。

边界检查：抵消到第 $n$ 阶时不能只展开到 $n-1$ 阶。

连续判据：

lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})

适用条件：函数值有定义，左右极限存在、相等且等于函数值。

边界检查：端点连续使用单侧极限。

易错边界

等价无穷小只保证乘除替换，处在加减项中可能改变首个非零阶；洛必达不适用于未先化成 $0/0$ 或 $\infty /\infty$ 的式子；函数在开区间连续不能直接套闭区间最值定理。

小结

本章掌握标准

区分数列极限与函数极限的趋近对象
按条件使用等价无穷小、泰勒、洛必达和夹逼
判定间断点类型并利用闭区间连续函数性质

公式与边界

两个重要极限

lim_{x\to 0} \sin x/x=1;\quad lim_{x\to \infty }(1+1/x)^x=e

适用条件: 相应表达式有定义，第二式底数在邻域内为正
边界提醒: 变量替换后仍要检查趋近方向

泰勒主项

f(x)=\Sigma_{k=0}^{n} f^(k)(0)x^k/k!+o(x^n)

适用条件: f 在展开点具有足够阶导数
边界提醒: 抵消到第 $n$ 阶时不能只展开到 $n-1$ 阶

连续判据

lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})

适用条件: 函数值有定义，左右极限存在、相等且等于函数值
边界提醒: 端点连续使用单侧极限

公式与边界

两个重要极限

lim_{x\to 0} \sin x/x=1;\quad lim_{x\to \infty }(1+1/x)^x=e

适用条件: 相应表达式有定义，第二式底数在邻域内为正
边界提醒: 变量替换后仍要检查趋近方向

泰勒主项

f(x)=\Sigma_{k=0}^{n} f^(k)(0)x^k/k!+o(x^n)

适用条件: f 在展开点具有足够阶导数
边界提醒: 抵消到第 $n$ 阶时不能只展开到 $n-1$ 阶

连续判据

lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})

适用条件: 函数值有定义，左右极限存在、相等且等于函数值
边界提醒: 端点连续使用单侧极限

完成后应能

直觉与对象

解题主线

公式、条件与边界

易错边界

本章掌握标准

公式与边界

本课检查题

完成后应能

直觉与对象

解题主线

公式、条件与边界

易错边界

本章掌握标准

公式与边界

本课检查题