大数定律与中心极限定理

辛钦大数定律：

$$\bar{X}_n\to \mu(\text{依概率})$$

适用条件：$X_{i} iid$ 且 $E|X_{i}|<\infty$。

边界检查：结论不是几乎处处收敛的无条件声明。

Lindeberg-Levy CLT：

$$(\sum X_{i}-n\mu)/(\sigma\sqrt{n}) \Longrightarrow N(0,1)$$

适用条件：$X_{i} iid$，$EX_{i}=\mu$，$0<\sigma^2<\infty$。

边界检查：标准化分母是 $\sigma\sqrt{n}$，不能误写为 $n\sigma$。

样本均值近似：

$$\bar{X}\approx N(\mu,\sigma^2/n)$$

适用条件：大样本且满足 CLT 条件。

边界检查：总体正态时该分布对任意 $n$ 精确成立。