二次型

二次型：

$$f(x)=x^{\mathsf T}Ax, A=A^{\mathsf T}$$

适用条件：有限维实向量空间上的实二次型。

边界检查：交叉项系数需均分到 $a_{ij}$ 与 $a_{ji}$。

合同变换：

$$x=Cy \Longrightarrow f=y^{\mathsf T}(C^{\mathsf T}AC)y$$

适用条件：C 为同阶可逆矩阵，变量替换 $x=Cy$ 可逆。

边界检查：这是 $C^{\mathsf T}AC$ 而非 $C^{-1}AC$。

Sylvester 判据：

$$A \text{正定} \Longleftrightarrow \Delta_{1}>0,…,\Delta_{n}>0$$

适用条件：$A$ 为实对称矩阵，$\Delta_{k}$ 为顺序主子式。

边界检查：一般主子式与顺序主子式概念不要混淆。