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44 道原创练习完整解析作答后进入错题复习

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显示 44 / 44 道原创练习

01-016 min
极限连续计算基础逐题解析
二阶抵消极限
计算极限 $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2}$ 。
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01-0210 min
极限连续证明标准逐题解析
递推数列的单调有界闭环
设 $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$ 。证明 $f(0)=0$ 收敛并求其极限。
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02-0110 min
一元微分计算标准逐题解析
可导但导函数不连续
设 $f(0)=0$ ， $x\ne 0$ 时 $f(x)=x^2 \sin(1/x)$ 。求 $f'(0)$ ，并判断 f' 是否在 0 连续。
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02-026 min
一元微分证明基础逐题解析
用单调性证明对数不等式
证明对一切 $x>0$ ，有 $\ln x\le x-1$ ，并说明等号条件。
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03-016 min
一元积分计算基础逐题解析
复合结构的定积分换元
计算 $I=\int _0^1 x \ln(1+x^2) dx$ 。
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03-0210 min
一元积分计算标准逐题解析
含对数瑕积分的判敛与计算
判断并计算 $\int _0^1 (\ln x)/\sqrt{x} dx$ 。
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04-0110 min
多元微分证明标准逐题解析
用曲线路径否定二元极限
判断 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2y/(x^4+y^2)$ 是否存在。
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04-026 min
多元微分计算基础逐题解析
圆周约束下的乘积极值
求 $f(x,y)=xy$ 在约束 $x^2+y^2=1$ 上的最大值和最小值。
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05-016 min
重积分计算基础逐题解析
单位圆盘上的径向积分
设 $D={(x,y):x^2+y^2\le 1}$ ，计算 $\iint _D (x^2+y^2) dxdy$ 。
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05-0210 min
重积分计算标准逐题解析
球内锥域的体积
求区域 $\Omega=\{x^2+y^2+z^2\le1,\ z\ge\sqrt{x^2+y^2}\}$ 的体积。约定球坐标中 $\varphi$ 是与正 $z$ 轴的夹角。
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06-0114 min
线面积分计算综合逐题解析
含奇点向量场的闭路环流
$L$ 为圆 $x^2+y^2=4$ 的逆时针方向，计算 $\oint _L[-y/(x^2+y^2) dx+x/(x^2+y^2) dy]$ 。
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06-026 min
线面积分计算基础逐题解析
球面的外向通量
$\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=4$ ，取外法向，求向量场 $F=(x,y,z)$ 穿过 $\Sigma$ 的通量。
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07-0110 min
空间几何计算标准逐题解析
过两平面交线的平面束
求经过两平面 $x+y+z-1=0$ 与 $x-y=0$ 的交线，且经过点 $P (1,0,1)$ 的平面方程。
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07-026 min
空间几何计算基础逐题解析
空间交线在坐标面的投影
空间曲线由 $z=x^2+y^2$ 与 $z=2x$ 的交线给出，求它在 xOy 平面上的投影曲线。
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08-016 min
无穷级数证明基础逐题解析
交错调和级数的收敛类型
判断级数 $\Sigma_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}/n$ 的收敛性，并说明是绝对收敛还是条件收敛。
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08-0210 min
无穷级数计算标准逐题解析
幂级数的收敛域与和函数
求幂级数 $\Sigma_{n=1}^\infty n x^n$ 的收敛域及其和函数。
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09-016 min
微分方程计算基础逐题解析
一阶线性初值问题
求解初值问题 $y'+y=e^{-x}, y(0)=0$ 。
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09-0210 min
微分方程计算标准逐题解析
二阶常系数方程的二重共振
求微分方程 $y''-2y'+y=e^x$ 的通解。
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10-0110 min
行列式计算标准逐题解析
参数三阶行列式的降阶
计算 $\det\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&b\\1&b&a\end{pmatrix}$ 。
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10-026 min
行列式填空基础逐题解析
逆矩阵数乘的行列式
$A$ 为三阶可逆矩阵且 $detA=2$ ，求 $\det(3A^{-1})$ 。
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11-0110 min
矩阵证明标准逐题解析
幂等矩阵构造逆矩阵
设方阵 $A$ 满足 $A^2=A$ 。证明 $I+A$ 可逆并求其逆矩阵。
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11-0210 min
矩阵计算标准逐题解析
矩阵乘积秩的上下界
$A$ 为 $3\times4$ 矩阵且 $r(A)=2$ ， $B$ 为 $4\times5$ 矩阵且 $r(B)=3$ 。给出 $r(AB)$ 的必然取值范围。
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12-016 min
向量组计算基础逐题解析
极大无关组与线性表示
设 $\alpha_1=(1,0,1)^{\mathsf T}$ ， $\alpha_2=(0,1,1)^{\mathsf T}$ ， $\alpha_3=(1,1,2)^{\mathsf T}$ 。判断相关性，并给出一组极大线性无关组。
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12-0210 min
向量组计算标准逐题解析
有序基下的坐标变换
$\mathbb R^2$ 中新基 $\beta_1=(1,1)^{\mathsf T}$ ， $\beta_2=(1,-1)^{\mathsf T}$ 。向量 $v$ 在标准基下坐标为 $(3,1)^{\mathsf T}$ ，求 $v$ 在基 $(\beta_1,\beta_2)$ 下的坐标。
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13-0110 min
方程组计算标准逐题解析
含参数方程组的解数分类
讨论方程组 $x+y+z=1$ ， $x+ay+z=1$ ， $x+y+az=1$ 在参数 a 取何值时有唯一解或无穷多解。
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13-026 min
方程组计算基础逐题解析
非齐次方程组的通解结构
求方程组 $x+y+z=1$ ， $x-y=0$ 的通解。
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14-0110 min
特征相似计算标准逐题解析
实对称矩阵的正交对角化
对 $A=[[2,1],[1,2]]$ 作正交对角化。
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14-026 min
特征相似填空基础逐题解析
由谱计算矩阵高次幂的迹
二阶矩阵 $A$ 可对角化，特征值为 1 和 2。求 $\operatorname{tr}(A^10)$ 与 $\det(A^10)$ 。
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15-016 min
二次型计算基础逐题解析
配方法判断二次型惯性
将二次型 $f(x,y)=x^2+4xy+3y^2$ 化为标准形，并判断正负惯性指数。
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15-0210 min
二次型计算标准逐题解析
含参数二次型的正定范围
确定实对称矩阵 $A=[[a,1],[1,2]]$ 正定时参数 a 的范围。
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16-0110 min
事件概率计算标准逐题解析
两来源模型的贝叶斯反推
先以概率 $1/3$ 选择盒 1、以概率 $2/3$ 选择盒 2。盒 1 取到红球的概率为 $3/4$ ，盒 2 为 $1/4$ 。已知取到红球，求来自盒 1 的概率。
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16-026 min
事件概率计算基础逐题解析
独立事件的并与补
事件 $A$ , $B$ 独立， $P(A)=0.5$ ， $P(B)=0.4$ 。求 $P(A\cup B)$ 与两事件都不发生的概率。
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17-016 min
一维分布计算基础逐题解析
线性密度的归一化与尾概率
随机变量 X 的密度为 $f(x)=cx$ （ $0<x<2$ ），其他处为 0。求 c 及 $P(X>1)$ 。
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17-0210 min
一维分布计算标准逐题解析
平方变换的分布
$X~U(-1,1)$ ，令 $Y=X^2$ 。求 Y 的分布函数和密度。
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18-0110 min
多维分布计算标准逐题解析
三角形支持集的边缘密度
$(X,Y)$ 的联合密度在 $D={x>0,y>0,x+y<1}$ 上为常数 c，其他处为 0。求 c 与 X 的边缘密度。
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18-0210 min
多维分布计算标准逐题解析
两个指数变量之和的卷积
X,Y 独立且都服从参数 1 的指数分布。求 $Z=X+Y$ 的密度。
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19-016 min
数字特征计算基础逐题解析
离散分布的均值与方差
随机变量 X 取 $-1,0,2$ 的概率分别为 0.2,0.5,0.3。求 $E(X)$ 与 $\operatorname{Var}(X)$ 。
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19-0210 min
数字特征计算标准逐题解析
含协方差的线性组合方差
已知 $E(X)=1$ ， $\operatorname{Var}(X)=2$ ， $E(Y)=-1$ ， $\operatorname{Var}(Y)=3$ ， $\operatorname{Cov}(X,Y)=-1$ 。求 $E(2X-Y)$ 与 $\operatorname{Var}(2X-Y)$ 。
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20-016 min
极限定理计算基础逐题解析
样本均值的中心极限定理近似
$X_1,\ldots,X_{100}$ 独立同分布， $E(X_i)=2$ ， $\operatorname{Var}(X_i)=9$ 。用中心极限定理近似 $P(1.7\le\bar X\le2.3)$ 。
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20-0210 min
极限定理计算标准逐题解析
二项概率的连续性校正
$X\sim B(100,0.5)$ 。用正态近似并作连续性校正，估计 $P(45\le X\le55)$ 。
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21-016 min
抽样分布填空基础逐题解析
正态样本方差的卡方统计量
设 $X_1,\ldots,X_{10}$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本， $S^2=\frac1{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)^2$ 。写出由 $S^2$ 构成的卡方统计量及其自由度。
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21-026 min
抽样分布填空基础逐题解析
由独立卡方变量构造 F 分布
$U\sim\chi^2_5$ ， $V\sim\chi^2_{10}$ ，且 $U,V$ 独立。写出一个服从 $F(5,10)$ 的统计量。
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22-0110 min
参数估计计算标准逐题解析
均匀总体的矩估计与最大似然估计
$X_1,\ldots,X_n$ 来自 $U(0,\theta)$ ， $\theta>0$ 。分别求 $\theta$ 的一阶矩估计和最大似然估计。
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22-026 min
参数估计计算基础逐题解析
已知方差时的正态均值区间
来自 $N(\mu,4)$ 的样本量 $n=25$ ，样本均值为 10。取 $z_{0}.975=1.96$ ，求 $\mu$ 的 95% 置信区间。
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